[수학산책] 특별한 수, 원주율 π

매년 2월 14일은 여자가 남자에게 사랑을 고백한다는 발렌타인데이이다. 그런데 이상하게도 우리는 3월 14일을 발렌타인데이와 반대로 남자가 여자에게 사랑을 고백하는 날이라고 하여 화이트데이로 부른다. 화이트데이는 일본의 어떤 제과회사에서 만든 날이라고 한다. 얄팍한 상술이 없는 기념일을 하나를 만든 것이다. 그것이 우리나라에도 전해진 것이다.

 

 

한편, 수학자들은 3월 14일을 원주율 π가 3.1415926...임을 기념하기 위하여 ‘파이(π) 데이’라고 이름 붙였다. 특히 미국에서 활동하고 있는 ‘π-Club’이라는 모임에서는 3월 14일 오후 1시 59분 26초에 모여 π모양의 파이를 먹으며 이 날을 축하한다. 그리고 π값 외우기, π에 나타나는 숫자에서 생일 찾아내기 같은 게임과 원과 관련된 놀이기구의 길이, 넓이, 부피 구하기 등의 퀴즈 대회를 한다.

 

 

 

π는 원이나 구에서 찾을 수 있는 특별한 값이다. 그리스 최고의 철학자인 아리스토텔레스는 원과 구에 대하여 다음과 같이 말했다. “원과 구, 이것들만큼 신성한 것에 어울리는 형태는 없다. 그러기에 신은 태양이나 달, 그 밖의 별들, 그리고 우주 전체를 구 모양으로 만들었고, 태양과 달 그리고 모든 별들이 원을 그리면서 지구둘레를 돌도록 하였던 것이다.” 우주가 지구를 중심으로 돌고 있다는 아리스토텔레스의 천동설이 옳지 않다는 것은 이미 판명되었고, 별들이 원을 그리면서 도는 것도 아니지만, 원과 구의 완벽함에 대한 그의 찬사는 정당한 것이었다.   원은 ‘한 평면 위의 한 정점(원의 중심)에서 일정한 거리(반지름)에 있는 점들의 집합’이다. 따라서 원은 반지름의 길이에 따라 크기만 달라질 뿐 모양은 모두 똑같다.   그리고 원의 둘레의 길이는 반지름의 길이에 따라 정해진다. 특히 원의 둘레의 길이와 지름은 원의 크기와 상관없이 일정한 비를 이루는데, 이 값을 원주율이라고 하고 기호 π로 나타낸다. 이 기호는 ‘둘레’를 뜻하는 그리스어 ‘περιμετροζ’의 머리글자로 18세기 스위스의 수학자 오일러가 처음 사용했다.

플라톤(좌)과 아리스토텔레스(우) 라파엘로의 작품 일부

 

 

 

반지름의 길이가 주어졌을 때 원의 둘레와 원주율 π를 구하려는 노력은 아주 오래 전부터 있어왔다. 그런 수학자 중에는 아르키메데스도 있었다. 아르키메데스는 π에 관심이 많았기 때문에 그 값을 정확하게 구하기 위하여 많은 노력을 했다. 그는 원의 둘레의 길이를 측정하기 어려우므로 원에 내접하고 외접하는 정다각형을 이용하여 원의 둘레의 길이를 구하였다. 즉, 다음의 성질을 이용한 것이다.

 

 

 

그러므로 내접하는 정사각형인 □EFGH의 둘레의 길이는 아래와 같다.     따라서 원의 둘레는 5.6보다는 크고 8보다는 작다고 할 수 있다. 그리고 반지름이 1인 원의 둘레는 π의 두 배이니까 이 계산으로는 π는 2.8보다는 크고 4보다는 작다고 할 수 있다.

 

 

오른쪽 그림과 같이 정8각형을 원에 외접하고 내접하게 그려서 정8각형의 둘레의 값을 구한다면 조금 더 참값에 가까운 π의 근삿값을 구할 수 있을 것이다. 아르키메데스는 이와 같은 방법으로 정96각형을 이용하여 원의 둘레의 길이와 원주율 π의 근삿값을 구하였다. 아르키메데스의 계산 결과는 다음과 같다.   이 값은 소수점 두 자리까지 정확한 값이었기 때문에 π 를 ‘아르키메데스의 수’라고도 부른다.

 

 

 

지금 이 순간에도 π 의 정확한 값을 구하기 위하여 많은 수학자들이 노력하고 있다. 다음은 π 에 관련된 몇 가지 역사적인 내용들이다.   약 150년 경 : 프톨레마이오스(Claudius Ptolemy)가 그의 명저 <수학대계>에서 π 를 3.1416으로 주었다. 약 480년 경 : 중국의 조충지(祖沖之)는 π의 유리근삿값 355/113=3.1415929…를 만들었는데, 이 값은 소수점 여섯째 자리까지 정확하다. 약 1150년 경 : 인도 수학자 바스카라(Bháskara)는 π 의 값을 3927/1250=3.1416으로 주었다. 1650년 : 영국의 수학자 월리스(John Wallis)는 다음과 같은 재미있는 식을 만들었다.     1767년 : 람베르트(Johann Heinrich Lambert)는 π가 무리수임을 증명했다. 1882년 : 어떤 수가 유리수를 계수로 갖는 다항식의 근이면 대수적 수(algebraic number)이라고 하고, 그렇지 않으면 초월수(transcendental number)라고 하는데, 린데만(F. Lindemann)은 π가 초월수임을 증명했다.

 

 

 

π 와 관련된 이야기 중에서 재미있는 것 중 하나는 π를 많은 자리까지 기억하기 위하여 생각해낸 다양한 방법들이다. 그 중에서 다음에 소개하는 방법은 1906년 「Literary Digest」지에 실린 오르(A. C. Orr)의 작품으로, 단순히 각 단어를 문자의 수로 바꾸면 정확히 π 의 소수 30자리까지의 값이 된다. 작품의 내용은 아르키메데스를 찬양하는 것이다.     π를 기억하기 위한 또 다른 흥미로운 방법 중 하나는 노래를 듣는 방법이다. 인터넷에는 π의 값을 노래로 만들어 불러주는 사이트도 있다. "Pi song"을 검색해보면 된다.

 

 

 

2005년 10월 20일에 일본 도쿄대학교의 가네다(金田 康正, Yasumasa Kanada)교수는 컴퓨터를 601시간 56분 사용하여 소수점 1,241,100,000,000 자리의 π값을 구하였다. 이 숫자는 어느 정도일까? 보통 우리가 컴퓨터를 이용하여 문서를 편집할 때 사용하는 A4 용지에 맞게 쓴다고 생각해 보자. 그러면 한 줄에 모두 82개의 숫자를 쓸 수 있고, 모두 41줄을 쓸 수 있으므로 A4 용지 한 장에는 3,362개의 숫자를 쓸 수 있다. 결국 야수마사가 얻은 π의 값을 쓰기 위해서는 모두 369,155,265장의 A4 종이가 필요하다. 실로 엄청난 숫자이다. 다음은 그가 얻은 π의 값의 소수점 1000개의 숫자이다. 개수를 세기 편하게 10개씩 묶어서 적었다. π의 값을 즐겨보기 바란다.